TEORI PELUANG

Teori Peluang

Pengertian Ruang Sampel dan Titik Sampel

Definisi ruang sampel :

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.
Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.

Definisi titik sampel :

Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.

Contoh :

1.	Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang bersisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut. Jawab :
	a.	Diagram pohon: Kejadian yang mungkin : AA : Muncul sisi angka pada kedua koin AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2
	b.	Tabel: Ruang sampel = { (A,A), (A,G), (G,A), (G,G) } Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G).
2.	Dua dadu homogen berbentuk kubus bermata 6 dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel pada percobaan tersebut. Jawab :
	Tabel:
		Titik sampelnya ada sebanyak 36 kemungkinan
3.	Seperangkat kartu bridge dikocok, lalu diambil satu kartu secara acak. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut ?
	Jawab :
		Seperangkat kartu bridge berisi 52 kartu yang terdiri dari empat kelompok yang dikenal dengan istilah daun / sekop ( ), keriting ( ), wajik ( ) dan hati ( ). Kartu daun dan keriting berwarna hitam, sedang wajik dan hati berwarna merah. Setiap kelompok bentuk tadi masing-masing terdiri dari King, Ratu, Joker, As, angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10. Jika seperangkat kartu itu dikocok dan diambil satu kartu secara acak, maka kejadian yang mungkin ada sebanyak 52 kemungkinan. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Definisi kejadian : Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel Definisi peluang : Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut. Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan. Contoh : Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Kejadian-kejadian yang mungkin terjadi misalnya : Munculnya mata dadu ganjil Munculnya mata dadu genap Munculnya mata dadu prima Jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu prima adalah Atau: Menyatakan nilai peluang suatu kejadian pada suatu percobaan dapat dinyatakan dengan menggunakan cara : Contoh: Pada percobaan melempar sebuah koin bersisi angka (A) dan gambar (G) dengan sebuah dadu bermata 1 sampai 6 bersama-sama sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya pasangan koin sisi gambar dan dadu mata ganjil ? Banyaknya kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil ada 3, yaitu (G,1), (G,3) dan (G,5). Peluang kejadian munculnya pasangan gambar dan mata dadu ganjil adalah Batas-Batas Nilai Peluang Nilai peluang suatu kejadian (P) memenuhi sifat , yang berarti Jika P = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan Jika P = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi, maka : Contoh: 1. Sebuah dadu berbentuk mata enam dilempar sekali. Tentukan nilai peluang : a. munculnya mata dadu bilangan asli b. munculnya mata dadu 7 Jawab : a. Nilai peluang munculnya mata dadu bilangan asli adalah 1, karena merupakan suatu kepastian. b. Nilai peluang munculnya mata dadu 7 adalah 0, karena merupakan suatu kemustahilan 2. Dua buah dadu kubus homogen bermata enam dilempar bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah peluang munculnya mata dadu tidak berjumlah 12 ? Jawab : Banyaknya ruang sampel percobaan tersebut ada 36 kejadian, sedang kejadian muncul mata dadu berjumlah 12 ada 1 kejadian yaitu (6,6), sehingga : Frekuensi Harapan 2. Di suatu daerah kemungkinan akan terjadi serangan penyakit pada ternak ayam adalah 0,24. Jika populasi ayam di daerah tersebut terdapat sebanyak 400 ekor, berapa ekor ayam yang kemungkinan akan terkena penyakit tersebut ? Jawab : Banyaknya ayam yang kemungkinan akan terkena penyakit di daerah tersebut = nilai kemungkinan terjadi penyakit x populasi ayam = 0,24 x 400 ekor = 96 ekor ayam Menghitung Nilai Peluang Suatu Kejadian Sederhana Menentukan nilai peluang kejadian sederhana dari suatu peristiwa adalah dengan mengetahui terlebih dahulu semua kejadian yang mungkin (ruang sampel) dan kejadian-kejadian yang diinginkan (titik sampel). Contoh : 1. Pada peristiwa melempar dua buah dadu, merah dan hitam, masing- masing bermata 1 sampai 6 secara bersama-sama sebanyak satu kali. Berapakah nilai peluang kejadian-kejadian : a. muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitam b. muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata dadu hitam lebih dari 4 Jawab : Ruang sampel ada sebanyak 36 kemungkinan. a. kejadian muncul mata 4 dadu merah atau mata ganjil dadu hitam ada sebanyak 21 kemungkinan pasangan, maka peluangnya adalah : b. kejadian muncul mata dadu merah kurang dari 3 dan mata dadu hitam lebih dari 4 ada sebanyak 4 kejadian, yaitu (1,5), (2,5), (1,6) dan (2,6), maka nilai peluangnya adalah : 2. Di dalam sebuah kotak terdapat 6 bola warna hitam, 8 bola warna merah dan 10 bola warna kuning. Diambil sebuah bola secara acak dan tidak dikembalikan. Tentukan nilai peluang terambil berturut-turut : a. bola hitam b. bola kuning c. bola merah 3. Seperangkat kartu bridge dikocok dan diambil satu kartu secara acak. Berapa peluang bahwa kartu yang terambil adalah : a. kartu warna merah b. kartu As atau King c. kartu hitam dan Ratu Jawab : Ruang sampel ada 52 kemungkinan. a. Kartu warna merah ada 26, maka peluangnya adalah : b. Kartu as ada 4 buah dan kartu king ada 4 buah, maka peluangnya adalah : Kejadian terambil kartu As atau kartu King seperti di atas merupakan kejadian saling lepas, yaitu tidak ada kejadian yang menjadi anggota kedua kejadian tersebut. c. Kartu hitam ada 26 buah dan kartu Ratu ada 4 buah, maka peluangnya adalah : Kejadian terambil kartu warna hitam dan kartu Ratu seperti di atas merupakan kejadian saling bebas, yaitu kejadian-kejadian yang peluangnya tidak saling mempengaruhi satu sama lain. Disadur dari : http://www.e-dukasi.net

TRIGONOMETRI

Matematika – Trigonometri – Landasan teori

Sebelum kita membahas trigonometri secara lanjut ada baiknya kita membahas landasan teori trigonometri

Landasan teori

Maka :

sin α = y cosec α = 1
r sin α
cos α = x sec α = 1
r cos α
tan α = y cotan α = 1
x tan α

dengan memahami landasan teori ini, maka kita dapat memahami, menggunakan dan mengembangkannya menjadi rumus penjumlahan sudut, rumus trigonometri sudut rangkap, rumus trigonometri sudut pertengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, serta rumus penjumlahan sinus dan cosinus.

di bangku pendidikan kita diajarkan cara mudah untuk mengingat rumus dasar tersebut, yaitu: demi suami di desa, dimana

demi adalah depan dan miring (sin),
suami disamarkan menjadi sami adalah samping dan miring (cos)dan
desa adalah depan dan samping (tan).

supaya lebih jelas lihat gambar dibawah ini.

Matematika – Trigonometri – Sudut istimewa

dalam menentukan nilai dari fungsi trigonometri kita dapat menggunakan banyak cara, diantaranya :

menggunakan tabel fungsi trigonometri,
menggunakan kalkulator, dan
menggunakan sudut istimewa pada fungsi trigonometri.

penggunaan tabel fungsi trigonometri berguna pada saat kita menyelesaikan soal dengan sudut sembarang antara 0,00 hingga 90,00 dengan ketelitian yang cukup tinggi, sedangkan penggunaan kalkulator berguna pada saat kita memeriksa hasil dari usaha dalam menyelesaikan soal diatas tapi didalam UAN dan SPMB jarang sekali diperbolehkan menggunakan keduanya. penggunaan sudut istimewa sangat sering digunakan pada kedua ujian tersebut.

dengan memanfaatkan sudut istimewa pada fungsi trigonometri maka kita bisa mendapatkan nilai fungsi secara cepat, sudut-sudut tersebut ialah :

nilai-nilai tersebut didapat dari permisalan berikut :

contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :

nilai dari sin 30 adalah ...
seperti kita ketahui bahwa sin adalah depan bagi miring, maka 1 ÷ 2 = ½.

nilai dari cos 30 adalah ...
cos adalah samping bagi miring, maka √3 ÷ 2 = ½ √3

Matematika – Trigonometri – Konversi sudut

jika nilai sudut berada diluar kisaran 0 sampai 90 maka kita dapat menyederhanakannya dengan menggunakan aturan sebagai berikut :

jika sudut berada pada kisaran 90 sampai 180, maka
α = ( 180 – α )
jika sudut berada pada kisaran 180 sampai 270, maka
α = ( α – 180 )
jika sudut berada pada kisaran 270 sampai 360 maka
α = ( 360 – α )

kita juga dapat menggunakan aturan pencerminan, dimana garis horizontalnya dapat dijadikan sebagai patokan. agar lebih memahami perhatikan gambar berikut :

contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :

s: jika sudut yang diketahui adalah 150, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi ...
j: selisih dari 180 dengan 150 adalah 30, maka hasil penyederhanaannya adalah 30.

s: jika sudut yang diketahui adalah 225, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi ...
j: selisih dari 180 dengan 225 adalah 45, maka hasil penyederhanaannya adalah 45.

s: jika sudut yang diketahui adalah 300, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi ...
j: selisih dari 360 dengan 300 adalah 60, maka hasil penyederhanaannya adalah 60.

aturan pencerminan digunakan pada saat kita lupa dengan 3 aturan penyederhanaan tersebut, karena pada prinsipnya kedua aturan tersebut sama tapi aturan pencerminan dibantu dengan gambar supaya mudah diingat.

Matematika – Trigonometri – sifat fungsi terhadap kuadran

setelah sudut disederhanakan, kita juga mesti memerhatikan sifat fungsi terhadap kuadran posisi ia berada. perhatikan gambar berikut :

pada kuadran I ( besar sudut antara 0 sampai 90 ), semua fungsi bernilai positif,
pada kuadran II ( besar sudut antara 90 sampai 180 ), fungsi sin bernilai positif yang lain negatif,
pada kuadran III ( besar sudut antara 180 sampai 270 ), fungsi tan bernilai positif yang lain negatif,
pada kuadran IV ( besar sudut antara 270 sampai 360 ), fungsi cos bernilai positif yang lain negatif.

agar lebih memahami, perhatikan contoh berkut :

s: berapa nilai dari cos 120 ?
j: cos 120
cos (180 - 120 ) _______( i )
- cos 60 _____________( ii )
- ½ ________________( iii )

keterangan
( i ) menggunakan konversi sudut.
( ii ) menggunakan sifat fungsi terhadap kuadran.
( iii ) menggunakan sudut istimewa.

Matematika – Trigonometri – Rumus penjumlahan dan pengurangan 2 sudut

untuk menjumlahkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :

sin ( α + β )
cos ( α + β )
tan ( α + β )

dapat menggunakan rumus penjumlahan sebagai berikut :

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 - tan α tan β

dan untuk mengurangkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :

sin ( α - β )
cos ( α – β )
tan ( α – β )

dapat menggunakan rumus pengurangan sebagai berikut :

sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β
cos ( α – β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan ( α – β ) = tan α – tan β
1 + tan α tan β

kalau kita lihat kedua aturan diatas memiliki kesamaan dan hanya dibedakan tanda plus dan minus, berarti kita hanya perlu mengingat aturan penjumlahan saja dan secara otomatis kita dapat mengingat rumus pengurangannya.

agar kita dapat lebih memahami aturan penjumlahan dan pengurangan, ada baiknya kita mengetahui bagaimana cara mendapatkan aturan tersebut. cara tersebut dapat dilihat diberbagai buku cetak pelajaran.

Matematika – Trigonometri – rumus trigonometri sudut rangkap

untuk memahami rumus ini, ada baiknya kita mengingat kembali rumus penjumlahan sudut dimana

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 - tan α tan β

langkah selanjutnya kita mengganti variabel b dengan a, maka akan kita dapati rumus sudut rangkap sebagai berikut :

sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
sin ( 2 α ) = 2 sin α cos α

cos ( α + α ) = cos α cos α – sin α sin α
cos ( 2 α ) = cos² α – sin² α

tan ( α + α ) = tan α + tan α
1 - tan α tan α
tan ( 2 α ) = 2 tan α
1 – tan² α

Matematika – Trigonometri – rumus trigonometri sudut pertengahan

setelah mendapatkan rumus trigonometri sudut rangkap dari pengembangan rumus penjumlahan sudut, dan sekarang kita mengembangkan rumus trigonometri sudut rangkap menjadi rumus sudut pertengahan, adapun langkah dari pengembangan tersebut dapat dilihat dari buku cetak matematika.

sin ½α = / 1 – cos α
√ 2

cos ½α = / 1 + cos α
√ 2

tan ½α = / 1 – cos α
√ 1 + cos α

bentuk lain dari rumus tan ½α

tan ½α = sin α
1 + cos α

tan ½α = 1 – cos α
sin α

Matematika – Trigonometri – rumus perkalian sinus dan kosinus

sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengalikan fungsi trigonometri, pada dasarnya rumus ini hasil pengembangan dari rumus penjumlahan sudut dengan cara eliminasi atau bisa juga dengan cara substitusi, seperti biasa cara pengembangannya dapat dilihat dibuku cetak matematika

sin α cos β = ½ { sin ( α + β ) + sin ( α – β ) }
cos α sin β = ½ { sin ( α + β ) – sin ( α – β ) }
cos α cos β = ½ { cos ( α + β ) + cos ( α – β ) }
sin α sin β = - ½ { cos ( α + β ) – cos ( α – β ) }

Matematika – Trigonometri – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus

rumus ini berbeda dengan rumus penjumlahan sudut, karena disini yang dijumlahkan bukan sudut melainkan fungsi trigonometri. rumus ini dapat kita kembangkan dari rumus perkalian sinus dan cosinus, seperti biasa proses pengembangan rumus dapat dilihat dari buku cetak matematika

sin α + sin β = 2 sin ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
sin α – sin β = 2 cos ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )
cos α + cos β = 2 cos ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
cos α – cos β = - 2 sin ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )

Disadur dari : http://matematika-qt.blogspot.com/

MUKADDIMAH

Pada saat ini pembelajaran Proses Kegiatan Belajar Mengajar (KBM) tidak hanya dilakukan di dalam kelas, namu mengikuti perkembangan jaman dan kemajuan teknologi terutama teknologi komunikasi dan informasi maka pembelajaran dapat dilakukan dengan menggunakan media komunikasi seperti halnya melalui internet ataupun media lain yang bersifat menambah keterampilan siswa untuk memanfaatkan teknologi yang ada.

Berdasarkan pemikiran di atas, saya selaku salah seorang staf pengajar mencoba untuk membuat sebuah media pembelajaran yang kiranya dapat membantu anak-anak didik kami untuk lebih memahami pelajaran khususnya matematika dan dapat memanfaatkan teknologi ini.

Dalam awal pembuatan blog ini saya yakin masih banyak kekurangan dan hal-hal yang harus dibenahi. Namun demikian ini adalah sebuah langkah kita untuk memulai era pembelajaran yang baru.

Kepada adik-adik, silahkan manfaatkan media belajar ini untuk membantu adik-adik agar lebih memahami materi matematika.

Salam.